Math.ru Словарь

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

 факт

Сумму первых n членов геометрической прогрессии можно найти по следующей формуле:

, если . ;

, если q = 1.

Математически верная формулировка

, если . ;

, если q = 1.

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Под ред. С. А. Теляковского. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений [Теляковский9]

Комментарий

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна дроби, у которой числитель есть разность между произведением n-го члена на знаменатель прогрессии и первым ее членом, знаменатель есть разность между знаменателем прогрессии и единицей.

Истроическая справка

По преданию, шахматы были изобретены в V в.н.э. в Индии. Богатый индусский царь Шерам был так восхищен этой игрой, что решил достойно отблагодарить изобретателя шахмат Сета. Сета попросил награду, на первый взгляд поразившую своей «скромностью». Он попросил выдать ему за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую клетку – 2 пшеничных зерна, за третью – 4, за четвертую – 8 зерен, за пятую – 16 зерен и т.д. до 64-й клетки доски, т.е. за каждую следующую клетку доски следует выдавать в 2 раза больше, чем за предыдущую.
Сколько зерен пшеницы должен получить изобретатель шахмат?

Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев. Алгебра: учебник для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики [Виленкин9]

Формулировки из учебников

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Под ред. С. А. Теляковского. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений [Теляковский9]
, , если .
, если q = 1.
Первая формула вычисления суммы традиционная. Вторая формула получается из первой применением формулы n-го члена геометрической прогрессии. Вторая формула позволяет находить сумму, зная первый член, знаменатель и число первых членов геометрической прогрессии.
Особо рассмотрен случай геометрической прогрессии, у которой все члены равны.
Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев. Алгебра: учебник для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики [Виленкин9]
,

или


Формулировка теоремы попутно поясняет обозначение суммы n первых членов геометрической прогрессии .
Первая формула вычисления суммы нетрадиционна. Вторая формула традиционна. Третья формула получается из второй применением формулы n-го члена геометрической прогрессии. Третья формула позволяет находить сумму, зная первый член, знаменатель и число первых членов геометрической прогрессии.
Особо рассмотрен случай геометрической прогрессии, у которой все члены равны.
А. Г. Мордкович. Алгебра. 9 класс: В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений [Мордкович9]
.
С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений. [НикольскийПотапов9]
Сумма первых членов геометрической прогрессии со знаменателем равна:

при ;

при

А.П. Киселев. Алгебра, ч.II: учебник для 8–10 классов средней школы [Киселев_А-II]
Сумма членов геометрической прогрессии равна дроби, у которой числитель есть разность между произведением последнего члена на знаменатель прогрессии и первым членом ее, а знаменатель есть разность между знаменателем прогрессии и единицей.
Если понимать ровно то, что написано, то это утверждение является словесным прочтением привычной для современного школьника формулы при условии . Если же учесть, что арифметическая прогрессия является бесконечной последовательностью, то может вызвать затруднение прямого применения этой формулировки к нахождению суммы, например, первых десяти членов геометрической прогрессии.
Случай q = 1 вообще не рассматривается
М. И. Башмаков. Алгебра: Учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений [Башмаков9]
Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений [Алимов9]
Сумма первых членов геометрической прогрессии со знаменателем равна

Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков. Алгебра. 9 класс: Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики. [МакарычевМиндюкНешков9у]
где .

где .

Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных [Дорофеев9]

Сравнения формулировок

  • А.П. Киселев. Алгебра, ч.II: учебник для 8–10 классов средней школы [Киселев_А-II]
  • Н. Я. Виленкин, Г. С. Сурвилло, А. С. Симонов, А. И. Кудрявцев. Алгебра: учебник для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики [Виленкин9]
  • Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Под ред. С. А. Теляковского. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений [Теляковский9]
Формулы вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии для всех приведенных учебных пособий одинаковые: вычисление суммы через первый и последний члены ряда и числа членов этого числового ряда. В учебных пособиях также встречается формальный подход вычисления суммы через первый член геометрической прогрессии, знаменатель и число ее первых членов.
Особое внимание в современных учебных пособиях уделяется рассмотрению случая q = 1.