Задачи и теоремы из анализа. Часть 2.
Теория функций, распределение нулей полиномов, определители, теория чисел.
Джордж Пойа, Габор Сеге
М., Наука, 1978. 432 с.
|
Загрузить (Mb) |
djvu (4) |
pdf (-) |
ps (-) |
html (-) |
tex (-) |
|
Перевод с немецкого Д.А.Райкова.
Содержание
Обозначения и сокращения.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ.
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ.
Глава 1.
Максимальный член и центральный индекс,
максимум модуля и число нулей.
§ 1 (1?40). Аналогия между μ(r) и М(r), v(r) и N(r).
Вопрос и
ответ.
§ 2 (41?47). Дальнейшие свойства функций μ(r) и v(r).
Вопрос и
ответ.
§ 3 (48?66). Связь между μ(r), v(r), М(r), N(r).
Вопрос и
ответ.
§ 4 (67?76). μ(r) и М(r) при специальных предположениях правильности роста.
Вопрос и
ответ.
Глава 2.
Однолистные конформные отображения.
§ 1 (77?83). Задачи подготовительного характера.
Вопрос и
ответ.
§ 2 (84?87). Теоремы единственности.
Вопрос и
ответ.
§ 3 (88?96). Существование отображающей функции.
Вопрос и
ответ.
§ 4 (97?120). Внутренний и внешний радиусы. Нормированная отображающая функция.
Вопрос и
ответ.
§5 (121?135). Связи между отображениями различных областей.
Вопрос и
ответ.
§ 6 (136?163). Теорема Кебе об искажении.
Вопрос и
ответ.
Глава 3.
Смешанные задачи.
§ 1 (164?174). Varia.
Вопрос и
ответ.
§ 2 (175?179). Об одном приеме Э.Ландау.
Вопрос и
ответ.
§ 3 (180?187). Прямолинейное приближение к существенно особой точке.
Вопрос и
ответ.
§ 4 (188?194). Асимптотические значения целых функций.
Вопрос и
ответ.
§ 5 (195?205). Дальнейшие приложения метода Фрагмена-Линделёфа.
Вопрос и
ответ.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ.
Глава 1.
Теорема Ролля и правило Декарта.
§ 1 (1?21). Нули функций, перемены знака последовательностей.
Вопрос и
ответ.
§ 2 (22?27). Изменения знака функции.
Вопрос и
ответ.
§ 3 (28?41). Первое доказательство правила Декарта.
Вопрос и
ответ.
§ 4 (42?52). Применения правила Декарта.
Вопрос и
ответ.
§ 5 (53?76). Применения теоремы Ролля.
Вопрос и
ответ.
§ 6 (77?86). Доказательство правила Декарта, прянадлежащее Лагерру.
Вопрос и
ответ.
§ 7 (87?91). На чем основывается правило Декарта?
Вопрос и
ответ.
§ 8 (92?100). Обобщения теоремы Ролля.
Вопрос и
ответ.
Глава 2.
Геометрические свойства нулей полиномов.
§ 1 (101?110). Центр тяжести системы точек относительно некоторой точки.
Вопрос и
ответ.
§ 2 (111?127). Центр тяжести полинома относительно некоторой точки. Теорема Лагерра.
Вопрос и
ответ.
§ 3 (128?156). Производная полинома относительно некоторой точки. Теорема Грэйса.
Вопрос и
ответ.
Глава 3.
Смешанные задачи.
§ 1 (157?182). Приближение нулей трансцендентных функций нулями рациональных.
Вопрос и
ответ.
§ 2 (183?189). Точное определение числа нулей при помощи правила Декарта.
Вопрос и
ответ.
§ 3 (190?196). Прочие задачи, относящиеся к нулям полиномов.
Вопрос и
ответ.
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ.
ПОЛИНОМЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ.
§ 1 (1?7). Полиномы Чебышева.
Вопрос и
ответ.
§ 2 (8?15). Общие сведения о тригонометрических полиномах.
Вопрос и
ответ.
§ 3 (16?28). Специальные тригонометрические полиномы.
Вопрос и
ответ.
§ 4 (29?38). Из теории рядов Фурье.
Вопрос и
ответ.
§ 5 (39?43). Неотрицательные тригонометрические полиномы.
Вопрос и
ответ.
§ 6 (44?49). Неотрицательные полиномы.
Вопрос и
ответ.
§ 7 (50?61). Максимумы и минимумы тригонометрических полиномов.
Вопрос и
ответ.
§ 8 (62?66). Максимумы и минимумы полиномов.
Вопрос и
ответ.
§ 9 (67?76). Интерполяционная формула Лагранжа.
Вопрос и
ответ.
§ 10 (77?83). Теоремы С.Бернштейна и А.Маркова.
Вопрос и
ответ.
§ 11 (84?102). Полиномы Лежандра и родственные им.
Вопрос и
ответ.
§ 12 (103?113). Прочие задачи на максимумы и минимумы полиномов.
Вопрос и
ответ.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
§ 1 (1?16). Вычисление определителей. Решение линейных уравнений.
Вопрос и
ответ.
S 2 (17?34). Разложение рациональных функций в степенные ряды.
Вопрос и
ответ.
§ 3 (35?43). Положительные квадратичные формы.
Вопрос и
ответ.
§ 4 (44?54). Смешанные задачи.
Вопрос и
ответ.
§ 5 (55?72). Определители систем функций.
Вопрос и
ответ.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ.
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ.
Глава 1.
Теоретико-числовые функции.
§ 1 (1?11). Задачи на целые части чисел.
Вопрос и
ответ.
§ 2 (12?20). Подсчет целых точек.
Вопрос и
ответ.
§3 (21?27). Одна теорема формальной логики и ее применения.
Вопрос и
ответ.
§ 4 (28?37). Части и делители.
Вопрос и
ответ.
§ 5 (38?42). Теоретико-числовые функции. Степенные ряды и ряды Дирихле.
Вопрос и
ответ.
§ 6 (43?64). Мультипликативные теоретико-числовые функции.
Вопрос и
ответ.
§ 7 (65?78). Ряды Ламберта и родственные им.
Вопрос и
ответ.
§ 8 (79?83). Дальнейшие задачи на подсчет целых точек.
Вопрос и
ответ.
Глава 2.
Целочисленные полиномы и целозначные функции.
§ 1 (84?93). Целочисленность и целозначность полиномов.
Вопрос и
ответ.
§ 2 (94?115). Целозначные функции и их простые делители.
Вопрос и
ответ.
§ 3 (116?129). Неприводимость полиномов.
Вопрос и
ответ.
Глава 3.
Теоретико-числовые свойства степенных рядов.
§ 1 (130?137). Подготовительные задачи о биномиальных коэффициентах.
Вопрос и
ответ.
§ 2 (138?148). К теореме Эйзенштейна.
Вопрос и
ответ.
§ 3 (149?154). К доказательству теоремы Эйзенштейна.
Вопрос и
ответ.
§ 4 (155?164). Целочисленные степенные ряды рациональных функций.
Вопрос и
ответ.
§ 5 (165?173). Теоретико-функциональные свойства целочисленных степенных рядов.
Вопрос и
ответ.
§ 6 (174?187). Степенные ряды, целочисленные в смысле Гурвица.
Вопрос и
ответ.
§ 7 (188?193). Значения степенных рядов, сходящихся в окрестности точки z==∞, в целочисленных точках.
Вопрос и
ответ.
Глава 4.
Об алгебраических целых числах.
§ 1 (194?203). Алгебраические целые числа. Поля.
Вопрос и
ответ.
§ 2 (204?220). Наибольший общий делитель.
Вопрос и
ответ.
§ 3 (221?227). Сравнения.
Вопрос и
ответ.
§ 4 (228?237). Теоретико-числовые свойства степенных рядов.
Вопрос и
ответ.
Глава 5.
Смешанные задачи.
§ 1 (238?244). Плоская квадратная целая решетка.
Вопрос и
ответ.
§ 2 (245?266). Смешанные задачи.
Вопрос и
ответ.
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ (приложение).
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ.
(1?25).
Вопрос и
ответ.
Предметный указатель.
|
Загрузить (Mb) |
djvu (4) |
pdf (-) |
ps (-) |
html (-) |
tex (-) |
|