Инверсия.

Илья Яковлевич Бакельман

М.: Наука, 1966. 32 с.
Тираж 75000 экз.
Серия Популярные лекции по математике, выпуск 44

Загрузить (Mb) djvu (0.58) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)

В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые переводятся в прямые, а окружности в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности, и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это прежде всего относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей. Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсии связано с привлечением разнообразных, большей частью довольно искусственных построений, носящих частный характер. Кроме указанных приложений, инверсия применяется также в пограничных вопросах элементарной и так называемой высшей геометрии. Речь идет об интерпретации геометрии Лобачевского на евклидовой плоскости. Интересны связи инверсии с комплексными числами, точнее, с простейшими функциями, аргументом и значениями которых являются комплексные числа.

Настоящая книга посвящена преобразованию инверсии и ряду ее приложений. Для удобства изложения материал разбит на три главы.

В первой главе подробно изучается преобразование инверсии и даются ее приложения к вопросам элементарной геометрии. Во второй главе показано, что преобразования, рассмотренные в главе I, могут быть заданы линейными и дробно-линейными функциями комплексного аргумента. Устанавливается также, что и обратно, такие функции описывают преобразования плоскости, сводящиеся к последовательному выполнению движений, гомотетии и, может быть, инверсий. В третьей главе излагается теоретико-групповая точка зрения обоснования геометрии, с помощью которой, опираясь на материал глав I и II, строятся кратко планиметрия Евклида и планиметрия Лобачевского.

Более подробное изложение вопросов, затронутых в главе III, читатель может найти в книге Н. В. Ефимова "Высшая геометрия".

В основу настоящей книги легли лекции, прочитанные автором в разное время школьникам г. Ленинграда.

---

Содержание

Предисловие

Глава I. Инверсия и пучки окружностей

   § 1. Простейшие преобразования плоскости
   § 2. Стереографическая проекция, бесконечно удаленная точка плоскости
   § 3. Инверсия
   § 4. Свойства инверсии
   § 5. Степень точки относительно окружности. Радикальная ось двух окружностей
   § 6. Приложение инверсии к решению задач на построение
   § 7. Пучки окружностей
   § 8. Строение эллиптического пучка
   § 9. Строение параболического пучка
   § 10. Строение гиперболического пучка
   § 11. Теорема Птоломея

Глава II. Комплексные числа и инверсия

   § 12. Геометрическое изображение комплексных чисел и действий над ними
   § 13. Линейная функция комплексного переменного и простейшие преобразования плоскости
   § 14. Дробно-линейная функция комплексного переменного и связанные с ней точечные преобразования плоскости

Глава III. Группы преобразований. Геометрии Евклида и Лобачевского

   § 15. Геометрия группы преобразований
   § 16. Евклидова геометрия
   § 17. Геометрия Лобачевского

---

Загрузить (Mb) djvu (0.58) pdf (-) ps (-) html (-) tex (-)